Prüfungsprotokoll 4513
Fach Physikalische Vertiefung: Theoretische Physik bei Prüfer Prof. Kantz, Prof. Stöckinger


































ID 4513
Prüfung für Master
Fach Physikalische Vertiefung: Theoretische Physik
Sonstiges Fach Nonlinear Dynamics, Quantenfeldtheorie
bei Prüfer Prof. Kantz, Prof. Stöckinger
Fachsemester 1
Datum der Prüfung 04.03.2019
Bei Prüfer gehörte Veranstaltung Nonlinear Dynamics bei Prof. Kantz
Relativistische Quantenfeldtheorie bei Prof. Stöckinger
Vorbereitung auf die Prüfung Hefter sorgfältig durchlesen (wozu bei Nonlinear Dynamics viel Literatur nötig war) und alles gelesene nochmal mit eigenen Worten zusammengefasst (die Zusammenfassungen wurden dann jeweils rund 10 Seiten lang). Dabei hab ich zuerst ausschließlich Nol und dann auschließlich QFT gelernt. Für das Hefter durchgehen hab ich jeweils 8 Tage mit ca. 5h/Tag gebraucht. In den letzten drei Tagen hab ich mir meine Zusammenfassungen dann noch zweimal durchgelesen. Übungen hab ich mir in beiden Fällen vor der Prüfung nicht angeschaut.
Dauer der Vorbereitung je 50 Stunden für beide Fächer über drei Wochen (dazwischen eine Woche Pause für Exphy)
Art der Vorbereitung allein
Allgemeine Tipps zur Vorbereitung Ich kann das Zusammenfassung schreiben nur empfehlen auch wenn es extra Lernzeit kostet. Einerseits hat man am Ende des langen Lernzeitraums eine Möglichkeit sich noch einmal einen Überblick über alles zu verschaffen und andererseits merkt man beim Umformulieren des Stoffes nochmal ob man ihn verstanden hat und setzt sich aktiv damit auseinander.
Für QFT fand ich den Hefter zur Vorbereitung völlig ausreichend und hab praktisch überhaupt keine Literatur verwendet.
Bei Nol hingegen war Literatur für mich dringend notwendig, da ich sonst einen großen Teil der Hefteraufschriften nicht verstanden hätte (teilweise war entweder das Tafelbild eher schlecht oder es wurde zu wenig zu einem Thema aufgeschrieben, um es nachvollziehen zu können). Ich bin so vorgegangen, dass ich die Kapitelüberschriften und Stichworte aus dem Hefter in diversen Büchern nachgeschlagen und abschnittsweise gelesen habe und dann versucht habe den Hefter zu verstehen.
Verwendete Literatur QFT:
- Mark Srednicki - Quantum Field Theory
Ich habe nur wenig darin gelesen aber der Stil gefiel mir. Im Gegensatz zu vielen anderen QFT Büchern behandelt Srednicki analog zu Prof. Stöckingers
Vorlesung am Anfang nur Spin 0 Teilchen.

Nol:
Leider gibt es für Nol kein einzelnes Buch was den gesamten Vorlesungsstoff abdeckt. Im Gegenteil: Irgendwie ist der Stoff relativ gleichmäßig über vier Bücher verteilt. Einige Themen werden entweder nur in einem Buch überhaupt erwähnt oder finden sich nur in einem Buch in voller Ausführlichkeit.

Literaturliste:
- Massimo Cencini, Fabio Cecconi, Angelo Vulpiani - Chaos_ From simple models to complex systems
- Tamas Tel - Chaotic Dynamics_ An Introduction Based on Classical Mechanics
(Sehr gute Einführung; substituiert gern Formeln durch Erklärungen und Anschauung; außerdem moderner Druckstil mit Lernboxen, etc.)
- Edward Ott - Chaos in dynamical systems
(Standardwerk; Sehr ausführlich und enthält große Breite an Themen)
- Heinz Georg Schuster, Wolfram Just - Deterministic Chaos_ An Introduction
(Komm mit dem Stil persönlich nicht so klar, aber einzige Quelle für supercylces und gute Erklärung von Kolmogorov-Sinai-entropy)

Themenliste:
- introduction to chaos: Tél
- invariant measure, density: Ott
- ergodicity: Ott, Vulpiani
- mixing: Tél
- local stability, hyperbolic fixed points: Ott
- Hopf bifurcation: Schuster, Scholarpedia
- period doubling cascade, supercycles: Schuster
- fractals: Tél
- Kolmogorov-Sinai-entropy: Schuster
- symbolic dynamics, generating partition: Vupliani
- time delay coordinates: Ott
- shadowing lemma: Vulpiani
- Hamiltonian chaos: Ott, Tél
- synchronization: Ott
Wie verlief die Prüfung? Jeder Prüfer hat jeweils ca. 30 min Fragen zu seiner Vorlesung gestellt.
In Nol wurden hauptsächlich Erklärungen von Begriffen abgefragt wobei es aber um ein Verständnis des Sachverhaltes und Wiedergabe mit eigenen Worten ging und nicht um eine exakte Wiedergabe der in der Vorlesung aufgeschriebenen mathematischen Definitionen. Dabei wurde auf konkrete Formeln eher weniger Wert gelegt und erklärende Zeichnungen waren eher entscheidend. Es wurde ungefähr in der Reihenfolge der Vorlesung eingehalten und zu jedem Kapitel wenigstens ein paar Fragen gestellt die sich aber sehr an den Grundlagem hielten.
In QFT hingegen wurden einige Kapitel ausgelassen aber dafür ging es bei den Themen die abgefragt wurden mehr in die Tiefe. Hier waren Formeln schon wichtiger und es wurde erwartet, dass man wichtige Gleichungen (z.B. Renormierungsgruppen-Gl., Gellman-Low-Formel, ...) weiß. Auch die groben Ideen für bestimmte Vorgehensweisen/Beweise sollten bekannt sein (z.B. das man zur Lösung von Loopintegralen die Masterformel verwendet und um diese Aufzustellen die Wich-Drehung und mehrdimensionale Kugelkoordinaten braucht). Nachdem Prof. Stöckinger grob die Grundlagen zu einem Thema abgefragt hatte ist er dann auch gerne mal etwas mehr in die Tiefe gegangen und hat spezifischere Fragen gestellt.
Wie reagiert Prüfer, wenn man die Frage nicht gleich beantworten kann? Wenn Prof. Kantz gemerkt hat, dass man eine seiner Fragen nicht verstanden hat, hat er sie direkt nochmal umformuliert bzw. neu gestellt bis man wusste was gemeint ist.
Als ich bei Prof. Stöckinger eine Frage wirklich nicht beantworten konnte hat er mir erstmal einige Sekunden Stille zum Nachdenken gegeben und auf meine Antwort gewartet. Aber als die dann nicht so sicher aufiel hat er weiterführende Fragen gestellt, bis er mich zu einer Lösung (mehr oder weniger mit dem Zaunspfahl) hingeleitet hatte.
Kleiner Fehler oder Ungenauigkeiten werden gerne, gerade von Prof. Stöckinger, direkt korrigiert haben aber auf die Bewertung glaube ich auch nicht so den große Einfluss.
Kommentar zur Benotung Sehr wohlwollend. 1.0 obwohl ich bei beiden Prüfern je eine Frage nicht wirklich beantworten konnte
Allgemein zur Prüfung und Prüfer Beide Prüfer sind sehr nett und somit ergab sich eine sehr angenehme Prüfungsatmosphäre. Etwaige anfängliche Aufregung ist dadurch schnell verflogen. Prof. Stöckinger wirkt wie schon in seiner Vorlesung immer etwas überrascht wenn man auf eine Frage keine Antwort weiß oder er etwas genauer erklären muss, aber nicht auf eine böse Art und Weise.
Was war schwierig an der Prüfung? Das fehlen von vorherigen Prüfungsprotokollen. Somit wusste man nicht wirklich was auf einen zukommt.
Welche Fragen wurden konkret gestellt? Quantenfeldtheorie

Grobe Themenübersicht:
ϕ^4-Theorie, Grundlagen der Störungstheorie (Gellman-Low-Formel, Wick-Theorem, Feynmanregeln), freie Felder und Kausalität/Lorentzinvarianz, Dimensionale Regularisierung (Loops in ϕ^4, Divergenzgrad, Herleitung der Masterformel, Gamma-Funktion), Renormierungsgruppe (Grundidee, RG-Gl, Korrelation von verschiedenen Loop-Ordnungen)


Grundlagen/Störungstheorie:
- ϕ^4 Langrangedichte aufschreiben --> kin. Term, Massenterm, WW-Term, L_0 und L_int gekennzeichnet
- wie bestimmt man daraus Vertex/Wechselwirkung? --> Feynmanregel, Ableitung von L_int nach Feldern, Ergebnis: Vier-Linien-Vertex = -ig
- und der Propagator? --> im Impulsraum i/(p^2 - m^2 + iε)
- das sind ja nun einfach Regeln; wo kommen die her? --> Greenfunktion interessant für Observablen, Gellman-Low-Formel gibt vor wie man diese berechnet
(Formel hingeschrieben), e-Fkt lässt sich Taylor-entwickeln, d.h. Störungstheorie, somit aus L_int immer ein Vielfaches von vier Feldern, d.h. Vier-Linien-
Vertex
- Was ist dafür noch wichtig? Wie lautet Wick-Theorem (in Worten)? --> Matrixelement zerfällt in Summe aus vollständigen Kontraktionen, d.h. Permutationen
von Produkten von Matrixelementen mit je zwei Feldern
- wieso gehen die 1/4! aus L_int weg? --> vier Felder in L_int sorgen dafür dass mehere vollständige Kontraktionen gleich sind und zwar 4!
- wie ist die Anatomie eines freien Feldes? --> Integralformel für ϕ(x) hingeschrieben, Wirkung der Erzeuger/Vernichter auf das Vakuum erklärt
- welche Eigenschaften haben die Felder? --> Kommutatoren hingeschrieben, d.h. [ϕ(x), ϕ(y)] (vektorielles x,y) und [ϕ(x), π(y)] (hier hab ich erstmal das i
vergessen was er mich später noch berichtigen ließ) und abschließend noch [ϕ(x), ϕ(y)] (x,y Vierervektoren) mit den Distributionen Δ(x-y) wobei ich noch auf
Kausalität eingegangen bin, also dass sich die Δs zu Null wegheben wenn (x-y)^2 < 0 raumartig getrennt
( das nächste fand war für mich die schwierigste Frage und ich hab deswegen mal versucht den Gesprächsverlauf darzustellen und wie man auf eine Lösung geführt wird)
- Prof. Stöckinger schreibt Matrixelemente <0|ϕ(x)ϕ(y)|0> und <0|Tϕ(x)ϕ(y)|0> hin. Was davon ist Lorentzinvariant? --> Beide
- Woran sieht man das? --> (hier hab ich länger überlegt) weil das Feld durch das Lorentzinvariante Integralmaß l.i. ist?
- falsch. wenn das Feld einer Translation unterliegt ändert sich der Wert. --> aber im Matrixelement hat man ja ein Paar von Feldern die bei Translation beide
verändert werden
- (das war glaube nicht ganz richtig aber auch nicht komplett falsch) <0|ϕ(x)ϕ(y)|0> ist l.i. weil das Vakuum als Lorentzinvariant gefordert wird, aber mit der
Zeitordnung in <0|Tϕ(x)ϕ(y)|0> ist das nicht mehr offensichtlich. wieso ist die l.i.? --> hab Matrixelement ausgeschrieben als
Θ(x^0-y^0)<0|ϕ(x)ϕ(y)|0> + Θ(y^0-x^0)<0|ϕ(y)ϕ(x)|0>, wichtig ist also nur wie Trafo auf x^0 und y^0 wirkt z. B. Zeitinversion
- ist Zeitinversion durch Lorentztrafo möglich? --> nein (ich dachte an trafo t --> -t die ja diskret ist, aber es ging nur darum die zeitliche Reihenfolge von x^0,
y^0 zu ändern bzw. umzukehren)
- doch. und zwar wann? --> wenn x,y raumartig getrennt kann lorentztrafo die zeitl Reihenfolge ändern aber in disem Fall kommutieren ja die Felder auf Grund
von Kausalität sowieso und deshalb ist <0|Tϕ(x)ϕ(y)|0> dann immernoch l.i.
(mit dieser Antwort war Prof. Stöckinger dann zufrieden )

Dimensionale Regularisierung
- Feynmandiagramme für Loops in ϕ^4-Theorie? --> ein Diagramm für 2-Punkt-Fkt und drei Diagramme (s,t,u-Kanal) für 4-Punkt-Fkt gezeichnet
- was ist mit diesem Diagramm (zeichnet Kreis mit jeweils drei Paaren äußerer Linien die ein v bilden)? ist das divergent? --> nein. Formel für Divergenzgrad
ist d = 4l -2i mit l Loop-Ordnung und i Anzahl innerer Linien (in diesem Fall waren es 3 innere Linien und 1-Loop also d = -2)
- wie komm ich auf diese Formel? --> Zählergrad minus Nennergrad im Loopintegral
- konkretes Beispiel für Loopintegral? --> Integral für B_0-Funktion explizit hingeschrieben, am Feynman-Diagramm erklärt
- was macht man nun in dimensionaler Regularisierung um UV-Divergenzen zu umgehen? --> Einführung von μ, Übergang von Dimension 4 im Integral zu
D = 4 - 2ϵ
- und dann? --> prinzipiell drei interessante Loop-Typen (Kreis mit einem, zwei oder drei äußeren Linien) korrespondieren zu A_0, B_0 und C_0, wobei C_0
UV-endlich, lassen sich mittels Feynman-Parameter auf einheitliche Form 1/(q^2 -Q)^n bringen welche sich mit Masterformel lösen lässt
- was muss man machen um Masterformel zu lösen? --> mehrdimensionale Kugelkoord mit spezieller Radialfunktion, Winkelanteil über Gaußfunktion gelöst
und Wick-Drehung um Integration über reelle in Integration über imaginäre Achse umzuwandeln (damit wird Vorzeichen im Propagator vor iε festgelegt)
- welche Funktionen treten dabei auf? --> Gamma-Funktionen (Definition aufgeschrieben)
- worin stecken dabei Divergenzen? --> divergiert bei negativen ganzen Zahlen und es tritt z.B. Γ(-1 + ϵ) = 1/ϵ + ... auf

Renormierungsgruppe
- was ist das? --> MS-bar Schema eigtl Familie von Renormierungsschemata die durch µ parametrisiert werden, kann µ in nackte Felder, Kopplungskonst,
Massen absorbieren um "noch nacktere" Größen zu erzeugen, die dann von µ unabhängig sein müssen (d.h. Ableitung nach µ gleich 0) da sie physikalisch
sind
- wirklich physikalische Größen? --> nein, denn sie können divergent sein, sind keine Observablen
- wie sieht die Renormierungsgruppengleichung aus? --> RG-Gl hingeschrieben für Funktional Γ sowie β und γ-Funktionen definiert
- was ist das für ein Γ? --> Interpretation entweder als quantenmechanische Wirkung oder Erzeugende der 1PI-Diagramme
- zweiteres jetzt wichtiger. wie sieht die RG-Gl für n-Punkt-Greenfunktion Γ_n aus? --> Gleichung angepasst
- was ist Γ_4 in der ϕ^4-Theorie? --> in Feynmandiagrammen hingeschrieben, d.h. tree-level/Vertex, die 3 oben erwähnten 1-Loop-Diagramme, ein Counter-
Term-Diagramm
- ist das alles? --> in 1-Loop-Ordnung ja, aber es folgen Diagramme höherer Loop-Ordnungen (wichtig für RG-Gl)
- schauen wir uns mal die Terme in der RG-Gl an. erster leitet nach ln µ ab, wo taucht µ in Γ_4 auf? --> nur in 1-Loop bzw. höheren Ordnungen nicht bei tree-
level
- wo steckt g drin nachdem abgeleitet wird? --> tree-level proportional g, 1-Loop proportional g^2 (ct-Term zählt als 1-Loop)
- mit µ und unterschiedlichen Potenzen von g kann RG-Gl also nur wie erfüllt sein? --> nur unter Beachtung aller Loop-Ordnungen, d.h. RG-Gl korreliert
unterschiedliche Loop-Ordnungen
- was heißt das genauer? --> Γ_n ist Polynom in Logarithmus (ln µ)^m, RG-Gl liefert Koeffizient vor höchster Logarithmuspotenz
- was ist höchste Potenz in 10 Loop-Ordnung? --> 10
- was muss man wissen um Vorfaktor zu bestimmen? --> Vorfaktor vor (ln µ)^9 in 9-Loop-Ordnung und β_1 und γ_1
- und für 9-Loop-Ord und alle weiteren? --> nur Tree-level Vertexfaktor und β_1 und γ_1 nötig


Nonlinear Dynamics

Grobe Themenübersicht:
Dynamische Systeme, Poincaré-Schnitt, Poincaré-Bendixon, Bifurkation, Bernoulli-Shift, Invariantes Maß/Menge, Fraktale Dimension, Kaplan-York-Dimension, Kolmogorov-Sinai-Entropie, Shadowing Lemma und round-off induced periodicity


Grundlagen dynamisches System
- was ist ein dynamisches System? --> Abbildung ϕ_t, meistens Differentialgleichungssys. erster Ordnung
- wieso erster Ordnung? was ist mit Newton? --> kann Gleichung zweiter Ordnung in ein System aus zwei Gleichungen erster Ordnung umwandeln
- zeitkontinuierlich zu kompliziert. wie bekomm ich eine map (es gibt zwei Möglichkeiten)? --> Poincaré-Schnitt (erklärt mit Skizze) oder stroboskopische
Abbildung im Fall von periodic driving (wenn d/dt φ = ω)
- was erbt der Poincaré-Schnitt von den Differentialgleichungen (Stichwort: Determinismus)? --> für Trajektorie im Phasenraum keine Schnittpunkte
(Eindeutigkeit)
- was ist mit Zeitumkehrung? --> möglich bei DGL, da Existenz garantiert, somit auch möglich bei Poincaré-Schnitt
- ist das immer so bei maps? --> nein. im allgemeinen nicht invertierbare maps betrachtet, da in invertierbaren 1D maps kein Chaos auftreten kann (an Hand
von Skizze erklärt dass Bewegung in Fixpunkt oder ins unendliche läuft)
- was gilt analog bei zeitkontinuierlichen Systemen (wichtiges Theorem)? --> Poincaré-Bendixon-Theorem, d.h. kein Chaos in beschränktem 2D da wegen
Eindeutigkeit keine Schnittpunkte erlaubt sind

Bifurkation
- was sind Bifurkationen? --> Familie parameterabhängiger maps, Änderung des Parameters ändert Anzahl und Art der Fixpunkte, Beispiel der tangent
bifurcation geliefert und am x-ε-Diagramm sowie g(x)-x-Diagramm erklärt
- das ist jetzt schon ein spezielles Beispiel. was gilt noch allgemeiner für Bifurkationen? --> Center manifold theorem
- naja, wir sind ja noch bei 1D und das Theorem spielt nur bei mehrdimensionalen Systemen eine Rolle --> man kann die Funktion g(x,ε) entwickeln als
g(x,ε) = +-x + αε + βx^2 + γxε + ... nach Verscheibung der Bifurkation nach x=ε=0
- wieso +-x? --> da sich Stabilität des Fixpunktes bei x=ε=0 ändern soll muss |g'(x)| = 1 sein an dieser Stelle
- was bestimmt Art der Bifurkation? --> Vorfaktoren α, β, γ z.B. für α=0 transcritical bifurcation
- wieso gucken wir uns das ganze nur in einer Dimension an? was passiert in mehreren? --> Center manifold theorem, Tangentenraum an Fixpunkt zerfällt in
stable, unstable und center space, korrespondieren zu Eigenvektoren der Eigenwerte kleiner, größer bzw. gleich 1, für Bifurkation nur center space
interessant und dieser ist meist eindimensional, kann aber auch z.B. 2D sein was Hopf bifurcation erlaubt

Chaos
- für ein Beispielsystem hatten wir bewiesen dass es chaotisch ist und zwar ...? --> Bernoulli shift (f und f^(2) hingezeichnet), hat 2^p - 1 instabile,
p-periodische Punkte die zwar dicht sind aber Lebesgue-Maß 0 haben; periodische Punkte korrespondieren zu rationalen Zahlen in Binärdarstellung
(Bernoulli shift entspricht abschneiden der ersten Ziffer des binären Bruchs), der Rest sind irrationale Zahlen; generischer Orbit ist also aperiodisch und
beschränkt, d.h. Chaos
- wir haben also gesehen dass es keinen Zweck hat einzelne Trajektorien zu verfolgen und benutzen deswegen Statistik, d.h.? --> zwei Größen: invariante
Dichte und invariantes Maß, invariante Dichte anschaulicher aber hat unendlich viele Singularitäten wenn ein chaotischer Orbit irgendwo f'(x)=0 hat (hab
Frobenius-Perron-Formel hingeschrieben) (das ist sehr ausführlich im Ott erklärt), deswegen Maß benutzen, was über inv Dichte integriert
- worauf ist das invariante Maß definiert? --> Maßraum?
- nein, ich meine was ist der Träger? --> invariante Menge, d.h. Menge deren Bild unter der map wieder die Menge selbst ist
- hatten uns mit fraktaler Dimension beschäftigt. was heißt eine gebrochen zahlige Dimension? --> anschaulich erklärt an Hand von Skalierung von Quadrat vs.
Koch-Kurve: bei Skalierung von Quadrat um Faktor 2 braucht man 4 Quadrate, d.h. 2^2 = 4, bei Koch-Kurve braucht man 4 Kopien wenn man um Faktor 3
skaliert d.h. 3^d = 4 und somit d nicht ganzahlig (sehr anschaulich erklärt im 3blue1brown "Video Fractals are typically not self-similar")
- wir hatten einen Bezuf zwischen der Dimension und den Lypunov Exponenten hergestellt, welcher war das? --> Kaplan-York-Dimension (Diagramm mit
Summe der L.E. gezeichnet), Grundidee: suche Dimension der inv Menge, d-dimensionales d-Volumen wächst wie Summe der ersten d L.E., z.b. bei einem
positiven, einem Nuller und einem negativen L.E. der betragsmäßig größer ist als der positive: linie wächst, fläche wächst, volumen schrumpft, d.h. invariante
Menge die weder schrumpft noch wächst muss Dimension zwischen Fläche und Volumen haben
- was ist überraschend daran? wie bestimmt man Kaplan-York-Dimension? --> lineare Extrapolation zwischen Index des letztem positiven und ersten
negativen L.E. (überraschend, dass keine komplizierte Extrapolation nötig)
- was ist die Kolmogorov-Sinai-Entropie? --> Maß für den Informationsverlust bei Entwicklung einer Wolke von Anfangsbedingungen (an Hand der Bilder erklärt
die dazu im Schuster zu finden sind, ohne Formeln), h_KS 0 für reguläre Systeme, unendlich für zufällige Systeme und chaotische Systeme dazwischen
- wie sieht das genau aus mit Informationsgewinn/Verlust? z.B. wenn der Schlauch an Anfangsbedingungen schrumpft oder wächst? --> (hier wusste ich die
Antwort nicht bzw. auch nicht genau worauf Prof. Kantz hinaus wollte, er meinte dann nur das mehr Information nötig ist um die Anfangsbedingung einzugrenzen
wenn der Schlauch wächst)
- nun zu Numerik. wir haben zwei Theoreme kennen gerlernt: eins was Hoffnung spendet und eins was doof ist (Shadowing Lemma, round-off induced
periodicity) --> shadowing lemma besagt, dass Computer-Trajektorie die in jedem Schritt einen Fehler von ε macht (z.B. durch floating point round-off) zwar
exponentiell von echter Trajektorie abweicht, aber dafür von anderer echter Trajektorie des Systems "beschattet" wird (an Hand von Bild aus Vulpiani erklärt);
Problem: wissen nicht ob diese andere Trajektorie typisch für System ist, Bsp. round-off induced periodicity d.h. dass chaotische Trajektorien auf Grund der
begrenzten Anzahl an floating point Zahlen nach bestimmter Zeit fälschlicherweise periodisch werden